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Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile. Algebra lineare

Lezioni frontali: 72 ore

Conoscere e comprendere la teoria delle funzioni di più variabili (limiti, continuità, differenziabilità, ottimizzazione, integrazione) e delle loro applicazioni alla risoluzione di problemi concreti.

Lo studente dovrà sviluppare la capacità di risolvere problemi mediante applicazione dei teoremi, degli strumenti e dei metodi appresi a lezione

Lo studente dovrà di essere in grado di valutare criticamente soluzioni operative differenti al fine di individuare la più adeguata agli obiettivi da perseguire

Vettori e operazioni. Prodotto scalare e norma. Il teorema di Cauchy-Schwartz. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di accumulazione. Insiemi aperti, chiusi. Punti di accumulazione. Limiti di funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limiti lungo curve particolari, limiti secondo una direzione. Coordinate polari e sferiche. Algebra dei limiti. Limite infinito e all'infinito. Algebra delle funzioni continue. Insiemi connessi e connessi per archi. Immagine continua di un connesso. Teorema degli zeri e dei valori intermedi. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Funzioni differenziabili. Derivate direzionali. Teorema del gradiente. Iperpiano tangente. Il teorema del differenziale totale. Continuità e Lipschitzianità delle applicazioni lineari. Differenziabilità e continuità. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Differenziabilità delle funzioni a valori vettoriali e differenziabilità delle componenti. Matrice Jacobiana. Differenziabilità della funzione composta. Regole di differenziazione. Funzioni di Classe C^k e teorema di Schwartz. Formula di Taylor con resto del second'ordine nella forma di Lagrange e con resto di Peano. Massimi e minimi liberi locali. Massimi e minimi e punti stazionari. Segno della matrice Hessiana in un punto di max/min/sella. Riconoscimento di punti stazionari. Il Teorema del Dini. max/min vincolati. Punti regolari di un vincolo. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Varietà differenziabili. Spazio tangente, unicità e caratterizzazione. Gradiente di una funzione e retta normale. Curve regolari. Lunghezza di una curva regolare. Integrali curvilinei di prima specie. Vettore e versore tangente. Curvatura e versore normale, torsione e versore binormale. Formule di Frénét. Misura di un pluri-intervallo. Misura esterna ed interna. Insiemi misurabili. Proprietà della misura di Peano-Jordan. Partizioni di un insieme misurabile. Somme inferiori e somme superiori associate ad una partizione. Funzioni Riemann integrabili. Integrabilità delle funzioni localmente costanti. Trascurabilità degli insiemi di misura nulla. Formule di riduzione e formula di integrazione per sostituzione. Integrazione per strati e fili. Il teorema di Cavalieri. Calcolo di volumi e Teorema di Guldino. Integrazione su varietà. Indipendenza dalla parametrizzazione. Teorema di Guldino per le superfici di rotazione. Campi vettoriali e 1-forme differenziali. Campi conservativi e campi irrotazionali. Condizioni equivalenti alla conservatività. Il rotore di un campo di R^3. La formula di Gauss-Green. forma differenziale. Il differenziale esterno. Orientazione di una varietà. Varietà con bordo. Orientazione del bordo di una varietà orientabile. Orientazione di una ipersuperficie e calcolo della normale esterna. Forme differenziali e formula di GaussGreen. Il teorema di Stokes e conseguenze: i teoremi del rotore e della divergenza. Equazioni differenziali in forma normale. Il Teorema di esistenza di Peano. Funzioni localmente Lipschitziane. Differenziabilità e Lipschitzianità. Il Teorema di esistenza ed unicità di Cauchy. Intervallo massimale e relazione con l'intervallo di definizione. Proprietà dell'intervallo massimale. Sistemi lineari. Il principio di sovrapposizione. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea. La matrice Fondamentale. Formula di variazione della costanti arbitrarie. Il caso delle equazioni di ordine n. Matrice Wronskiana e integrale particolare. Matrice esponenziale e sue proprietà. La matrice fondamentale per le equazioni lineari a coefficienti costanti. Crescita esponenziale delle soluzioni delle equazioni lineari a coefficienti costanti. Metodo della somiglianza.

Prova scritta seguita da prova orale

Lo studente deve dimostrare di aver compreso gli argomenti del corso e di saperli utilizzare ai fini di risolvere problemi concreti

Alle prove scritta e orale è assegnato un punteggio compreso tra zero/30 e 30/30

L'esito complessivo della valutazione è positivo se lo studente consegue almeno 18/30 nelle prova scritta ed ottiene una valutazione finale di almeno 18/30. Il voto finale è dato dalla media tra la valutazione nella prova scritta e nella prova orale. La lode è riservata agli studenti che, avendo svolto tutte le prove in modo corretto e completo, abbiano dimostrato una particolare brillantezza nella esposizione orale e nella redazione degli elaborati scritti

Hass-Weir-Thomas; Analisi Matematica 2, Pearson
https://learn.univpm.it/course/view.php?id=6299

No