Italiano
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Calcolo algebrico, logica elementare, teoria degli insiemi elementare,
numeri complessi.
Algebraic calculation, elementary logic, elementary set theory,
complex numbers.
Lezioni di teoria.
Theory lessons.
L’insegnamento permette agli studenti di acquisire le
conoscenze di base di algebra lineare e geometria
analitica, fondamentali per la comprensione e l'analisi
di problemi ingegneristici. In particolare le
conoscenze acquisite riguarderanno i concetti di
spazio vettoriale, applicazione lineare, forme bilineari
simmetriche, prodotto scalare, la geometria di rette e
piani nello spazio, la geometria delle superfici
quadriche.
Gli studenti sapranno impostare e svolgere esercizi
di algebra lineare su matrici, applicazioni lineari,
forme bilineari, sapranno risolvere sistemi lineari e
risolvere problemi di geometria analitica nello spazio.
Lo studio e gli esercizi svolti in questo corso
permetteranno di rafforzare anche le competenze
trasversali acquisite dallo studente. In particolare la
capacita' di analizzare criticamente un problema o un
quesito e la capacita' di utilizzare un linguaggio
corretto, preciso e formale in modo appropriato.
Infine sara' stimolata la capacita' di apprendimento in
autonomia e di approfondimento da parte dello
studente.
The course will teach to students basic notions of
linear algebra and analytic geometry, for the
comprehension and analysis of engineering problems.
In particular the course will concern the notions of
vector space, linear map, symmetric bilinear forms,
scalar product, the geometry of lines and planes,
quadric surfaces.
Students will be able to solve exercises of linear
algebra on matrices, linear maps, bilinear forms, to
solve linear systems and to solve problems of
analytic geometry in the space.
The study and the exercises proposed will
consolidate the “transverse skills” obtained by the
students, such as the ability of critically analyze a
problem and the ability of use a correct, precise and
formal language. The ability to learn in autonomy and
to develop the study will be strengthened, too.
Spazio delle matrici mxn: somma, prodotto per scalari. Matrice trasposta. Matrici quadrate, simmetriche, antisimmetriche. Prodotto tra matrici. Matrici invertibili. Determinante e sue proprietà. Teorema di Laplace. Teorema di Binet. Inversa di una matrice invertibile. Rango e indipendenza lineare delle colonne (righe) di una matrice. Metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi dipendenti da parametri. Sistemi a scalini e metodo di riduzione. Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali. Generatori di uno spazio. Indipendenza lineare di vettori. Base di uno spazio vettoriale, coordinate e dimensione. Sottospazi vettoriali di Rn: basi, dimensione, equazioni parametriche e cartesiane. Cambiamenti di base e trasformazioni di coordinate. Formula di Grassmann. Sottospazi affini. Applicazioni lineari. Matrice associata a un'applicazione lineare. Nucleo e immagine. Teorema della dimensione. Isomorfismi. Matrici del cambiamento di base. Forme bilineari simmetriche. Prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proiezioni. Coefficiente di Fourier. Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Cambiamenti di basi ortonormali. Matrici ortogonali. Endomorfismi e cambiamenti di base: matrici simili. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Autovettori ed autovalori. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Criteri di diagonalizzabilità. Operatori simmetrici. Teorema spettrale. Geometria del piano: punti, rette, vettori direttori. Distanze. Circonferenze. Fasci di rette. Cambiamenti di coordinate cartesiane. Quadriche. Coniche e loro classificazione. Geometria dello spazio: punti, rette, vettori direttori. Distanze. Sfera. Prodotto vettoriale. Cambiamenti di coordinate cartesiane.
The space of the mxn matrices: sum and product by scalars. The transpose. Square, symmetric, skew-symmetric matrices. Product of matrices. Invertible matrices. The determinant and its properties. Laplace's Theorem. Binet's Theorem. The inverse of an invertible matrix. Rank and independence of columns (rows). Gauss elimination. Linear systems. Cramer's Theorem. Rouché-Capelli Theorem. Linear systems with parameters. Ladder reduction. Vector spaces and vector subspaces. Generators of a vector space. Linear independence of vectors. Bases, coordinates, and dimension. Vector subspaces of Rn: bases, dimension, equations. Change of bases and coordinates. Grassmann Formula. Affine subspaces. Linear maps. Matrices associated with a linear map. Kernel, Image, and their dimensions. Isomorphisms. Symmetric bilinear forms. Scalar product. Cauchy-Schwarz inequality. Projections. Fourier coefficient. Orthogonal and orthonormal bases. Gram-Schmidt process. Change of orthonormal bases. Orthogonal matrices. Endomorphism and change of bases: similar matrices. Diagonalizable endomorphisms and diagonalizable matrices. Eigenvectors and eigenvalues. Characteristic polynomial. Algebraic and geometric multiplicity. Criteria for diagonalizability. Symmetric endomorphisms. Spectral theorem. Orthogonal endomorphisms. Plane geometry: points, lines, direction vectors. Distance. Circles. Sheaves of lines. Change of cartesian coordinates. Quadrics. Conics and their classification. Space geometry: points, planes, lines, direction vectors. Distance. Spheres. Vector product. Change of cartesian coordinates.
La valutazione del livello di apprendimento degli studenti avviene attraverso due prove: una prova scritta, che consiste nella soluzione di più esercizi su argomenti trattati nel corso, e una prova orale, che consiste nella discussione di più temi su argomenti trattati nel corso e che, se necessario, potrà in parte essere svolta per iscritto. La prova scritta è propedeutica alla prova orale, per accedere alla quale lo studente deve aver ottenuto almeno la sufficienza nella prova scritta.
Nelle prove d'esame, lo studente deve dimostrare di aver compreso, in maniera almeno sufficiente, gli argomenti trattati nel corso e di essere in grado di applicare le conoscenze acquisite utilizzando consapevolmente i metodi dell’algebra lineare e della geometria analitica esposti nel corso. Nelle prove d'esame, viene valutata la comprensione degli argomenti trattati nel corso e la capacità di applicare le conoscenze acquisite. La valutazione minima (diciotto/trentesimi) è assegnata agli studenti che riescono a risolvere in maniera sufficiente i problemi proposti e che dimostrano sufficiente conoscenza degli argomenti basilari trattati durante il corso. La valutazione massima (trenta/trentesimi) è raggiunta dimostrando una conoscenza approfondita dei contenuti del corso.
Viene attribuito un voto in trentesimi, con eventuale lode.
Alla prima prova scritta è assegnato un punteggio compreso tra zero e trenta. Sono ammessi alla prova orale soltanto gli studenti che abbiano riportato alla prova scritta un voto maggiore o uguale a diciotto. Il voto complessivo, in trentesimi, è dato al termine della prova orale tenendo conto di entrambe le prove. La lode è riservata agli studenti che abbiano dimostrato una particolare brillantezza nella redazione degli elaborati scritti e nella esposizione orale.
There will be two examinations:
- a written examination, consisting in solving some exercises,
- an oral examination, consisting in the discussion of some of the topics (part of the exposition could be asked to be written down). In order to be admitted to the oral examination, the candidate must obtain a positive mark (18 or higher) in the written examination.
In order to pass the exam, students must show in the examinations that they have adequately understood the topics of the course and are able to apply the acquired knowledge and understanding by using properly the methods of linear algebra and analytic geometry taught during the course. In the exams, the teacher evaluate how well the students have understood the topics of the course and are able to apply the acquired knowledge and understanding. The passing grade (eighteen/thirtieths) is given to students that solve the exercises in a sufficient way and prove their knowledge of the fundamental topics of the course. The maximum grade (thirty/thirtieths) is obtained by proving a deep knowledge of the topics of the course.
The marks are from 0 to 30 cum laude.
After the written examination, the papers are marked (a number between 0 and 30). In order to be admitted to the oral examination, the candidate must obtain a positive mark (18 or higher) in the written examination. The final grade of the exam is given after the oral examination (it takes into account both examinations). Candidates passing the exam have a final grade between 18 and 30 cum laude. A final grade of 30 cum laude is awarded to the candidates that have shown exceptional skill in both examinations.
M. Abate, C. de Fabritiis "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III ed., McGrawHill. M. Abate, C. de Fabritiis "Esercizi di Geometria", McGraw-Hill.
https://learn.univpm.it/course/view.php?id=6982
M. Abate, C. de Fabritiis "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", III ed., McGrawHill. M. Abate, C. de Fabritiis "Esercizi di Geometria", McGraw-Hill.
https://learn.univpm.it/course/view.php?id=6982
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